# 微积分

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# 函数，极限，连续

# 函数

$ y = f(x) , x∈D$

y 因变量，x 自变量，D 定义域

# 函数大致分类

1. 分段函数

2. 复合函数 (内部函数值域是外部函数的定义域)

3. 反函数 (反函数与原函数关于 $x=y$ 对称)

4. 初等函数

   | 初等函数 | 形式 |
   | ---------- | ----------------------------------------- |
   | 幂函数 | $y=x^a$ |
   | 指数函数 | $y=a^x$ |
   | 对数函数 | $y=log_ax$ |
   | 三角函数 | $y=sinx , y=cosx ,...$ |
   | 反三角函数 | $y=arcsinx , y=arctanx , y=arccotx , ...$ |

# 性质

1. 单调性
2. 奇偶性
3. 周期性
4. 有界性

# 极限

$$lim_{a\rightarrow+\infin}x_n=a$$

基本极限

$lim_{x\rightarrow0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

$lim_{x\rightarrow+\infin}(1+\frac{1}{x})^x=e$

# 无穷小

$$有 lim\frac{\beta}{\alpha}=0,则 \beta是 \alpha的高阶无穷小$$

# 求极限

求极限常用方法

# 1. 利用基本极限求极限

$lim_{x\rightarrow0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

$lim_{x\rightarrow+\infin}(1+\frac{1}{x})^x=e$

$lim_{x\rightarrow0}{\frac{sinx}{x}}=1$

# $1^\infin$ 型极限常用结论

若 $lim\alpha(x)=0,lim\beta(x)=\infin,且lim\alpha(x)\beta(x)=A$,

则$lim(1+\alpha(x))^{\beta(x)}=e^A$

推理

$1^\infin=lim[(1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}]^{\alpha\beta}=e^A$

# 2. 利用等价无穷小代换求极限

# 3. 利用有理运算法则求极限

# 4. 利用洛必达法则求极限

# 5. 利用泰勒公式求极限

# 6. 利用夹逼准则求极限

# 7. 利用单调有界准则求极限

# 8. 利用定积分定义求极限

# 连续